Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Vamos analisar a diferenciabilidade da função dada:
. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa propriedade se aplica a
.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela possui derivadas parciais contínuas nesse ponto. No caso de
, que é uma função polinomial, geralmente esperamos que ela seja diferenciável em todos os pontos do seu domínio, já que polinômios não têm descontinuidades ou pontas afiadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Observe que todas essas derivadas parciais são também funções polinomiais, o que significa que são contínuas em todo o espaço
. A continuidade das derivadas parciais é um critério essencial para a diferenciabilidade da função.
Passo 5
Como todas as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo
, concluímos que
é diferenciável em todos os pontos desse espaço.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o espaço
.
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