Estude a diferenciabilidade das funções dadas. f(x, y, z) = x^2 + x*y*z + z^3*y

Passo 1

Vamos analisar a diferenciabilidade da função dada: . Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa propriedade se aplica a .

Passo 2

Primeiro, é importante saber que uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela possui derivadas parciais contínuas nesse ponto. No caso de , que é uma função polinomial, geralmente esperamos que ela seja diferenciável em todos os pontos do seu domínio, já que polinômios não têm descontinuidades ou pontas afiadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Observe que todas essas derivadas parciais são também funções polinomiais, o que significa que são contínuas em todo o espaço . A continuidade das derivadas parciais é um critério essencial para a diferenciabilidade da função.

Passo 5

Como todas as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo , concluímos que é diferenciável em todos os pontos desse espaço.

Resposta

A função é diferenciável em todo o espaço .

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