Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função , que é definida de maneira diferente dependendo se o ponto é ou não. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e entender como funciona a definição da função para diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos encontrar as derivadas parciais e , que são as derivadas de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando para o caso em que . Para isso, vamos derivar a expressão em relação a . Vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular para . Derivamos em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos verificar o ponto . A função está definida como . Para encontrar as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
No caso de , o limite não existe porque depende de como se aproxima de 0.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
ã

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