Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
, que é definida de maneira diferente dependendo se o ponto
é
ou não. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e entender como funciona a definição da função para diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos encontrar as derivadas parciais
e
, que são as derivadas de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando
para o caso em que
. Para isso, vamos derivar a expressão
em relação a
. Vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para
. Derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos verificar o ponto
. A função está definida como
. Para encontrar as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
No caso de
, o limite não existe porque depende de como
se aproxima de 0.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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