Calcule as derivadas parciais de ordem em x e y: f(x, y) = (x^2 * y^3) / raiz(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e para a função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar das regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Podemos escrever isso como .
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos considerar e .
Então, .
Calculando :
Calculando :
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, a função é .
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Considerando e .
Então, .
Calculando :
Calculando :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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