Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver: f(x, y) = x * e^(y)

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos a função . Precisamos encontrar todos os pontos onde a função apresenta máximos e mínimos relativos, além de identificar pontos de sela, se houver. Para resolver isso, vamos utilizar derivadas parciais para localizar os pontos críticos e, em seguida, analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Em seguida, encontramos os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:

Passo 4

Vamos analisar as equações obtidas:
  • Da equação , sabemos que é sempre positivo para qualquer valor real de . Portanto, não existe nenhum valor de que satisfaça .
  • Como não há solução para , não precisamos analisar , pois já sabemos que não haverá pontos onde ambas as derivadas parciais sejam zero simultaneamente.

Passo 5

Como não existem pontos onde e ao mesmo tempo, podemos concluir que a função não possui pontos críticos. Sem pontos críticos, não há máximos ou mínimos relativos, nem pontos de sela.

Resposta

A função não possui máximos ou mínimos relativos, nem pontos de sela.

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