Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos a função
. Precisamos encontrar todos os pontos onde a função apresenta máximos e mínimos relativos, além de identificar pontos de sela, se houver. Para resolver isso, vamos utilizar derivadas parciais para localizar os pontos críticos e, em seguida, analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Em seguida, encontramos os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 4
Vamos analisar as equações obtidas:
-
Da equação
, sabemos que é sempre positivo para qualquer valor real de . Portanto, não existe nenhum valor de que satisfaça . -
Como não há solução para
, não precisamos analisar , pois já sabemos que não haverá pontos onde ambas as derivadas parciais sejam zero simultaneamente.
Passo 5
Como não existem pontos onde
e
ao mesmo tempo, podemos concluir que a função não possui pontos críticos. Sem pontos críticos, não há máximos ou mínimos relativos, nem pontos de sela.
Resposta
A função
não possui máximos ou mínimos relativos, nem pontos de sela.