Calcule as derivadas parciais de ordem em x e y: f(x, y) = ln(3x^4 - 3x^2y - 2xy^3 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem em e da função . A matéria que precisamos aqui é cálculo, mais especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia para funções logarítmicas. Vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e como aplicar a regra da cadeia para encontrar essas derivadas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a , que chamaremos de .
Primeiro, vamos identificar a função dentro do logaritmo:
A derivada de em relação a é dada pela regra da cadeia:
Agora, vamos calcular :
Calculando cada termo:
éçã
Então:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , que chamaremos de .
Novamente, usamos a regra da cadeia para :
Calculando :
Calculando cada termo:
éçã
Então:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
e

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