Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função . Isso envolve entender derivadas parciais, funções trigonométricas e como manipular frações dentro de raízes. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar de como derivar a tangente e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Vamos chamar o que está dentro da tangente de :
Então, .

Passo 3

Para derivar em relação a , aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a .
Usamos a regra da potência e a regra da cadeia novamente:
Derivando em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na derivada de :
Isso pode ser simplificado:
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Voltando à derivada de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma lógica:

Passo 8

Derivando em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 9

Substituindo de volta na derivada de :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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(b)