Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
. Isso envolve entender derivadas parciais, funções trigonométricas e como manipular frações dentro de raízes. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar de como derivar a tangente e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Vamos chamar o que está dentro da tangente de
:
Então,
.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Usamos a regra da potência e a regra da cadeia novamente:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Substituindo de volta na derivada de
:
Isso pode ser simplificado:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Voltando à derivada de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma lógica:
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Substituindo de volta na derivada de
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais, onde e representa o Número de Euler
:
(b)
(b)