Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão pede para calcular as derivadas de primeira ordem em relação a
e
da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é essencial quando lidamos com funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é uma composição de funções: a raiz quadrada e o seno. Então, aplicaremos a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos definir uma função interna . Assim, podemos escrever
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
será:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que , onde
. Aplicando novamente a regra da cadeia:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Passo 8
Agora, voltando à derivada de
em relação a
:
Passo 9
Simplificando, temos:
Passo 10
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Seguindo o mesmo raciocínio, aplicamos a regra da cadeia.
Passo 11
Definindo novamente , temos:
Passo 12
Calculando
, com e
:
Passo 13
Calculando
:
Passo 14
Substituindo
na expressão de
:
Passo 15
Voltando à derivada de
em relação a
:
Passo 16
Simplificando, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
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Assinale
nas afirmações verdadeiras e
nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
) O domínio da função
é
.
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Calcule