Calcule as derivadas parciais de ordem em e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão pede para calcular as derivadas de primeira ordem em relação a e da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é essencial quando lidamos com funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é uma composição de funções: a raiz quadrada e o seno. Então, aplicaremos a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos definir uma função interna . Assim, podemos escrever .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a será:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que , onde . Aplicando novamente a regra da cadeia:

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora, voltando à derivada de em relação a :

Passo 9

Simplificando, temos:

Passo 10

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Seguindo o mesmo raciocínio, aplicamos a regra da cadeia.

Passo 11

Definindo novamente , temos:

Passo 12

Calculando , com e :

Passo 13

Calculando :

Passo 14

Substituindo na expressão de :

Passo 15

Voltando à derivada de em relação a :

Passo 16

Simplificando, temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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Assinale nas afirmações verdadeiras e nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
) O domínio da função é .
Calcule as derivadas parciais de ordem em e :
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