Calcule as derivadas parciais de ordem em e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e da função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é um produto de e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. A função é uma composição de funções: a exponencial e a raiz quadrada.
Derivando em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Lembre-se que , então:
Simplificando, a derivada de fica:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Cancelando na raiz:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .
A função é vezes . A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
Então, temos:
Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a :
Derivando em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a fica:
Simplificando:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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Assinale nas afirmações verdadeiras e nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
) O domínio da função é .
Calcule as derivadas parciais de ordem em e :