Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
da função
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é um produto de
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A função
é uma composição de funções: a exponencial e a raiz quadrada.
Derivando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
. Lembre-se que
, então:
Simplificando, a derivada de
fica:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Cancelando
na raiz:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente,
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a
.
A função
é
vezes
. A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
Então, temos:
Usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Simplificando:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
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Calcule (usando substituição)
Assinale
nas afirmações verdadeiras e
nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
) O domínio da função
é
.
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
: