Calcule as derivadas parciais de ordem em e :

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem em e da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

A função é um produto de duas funções que envolvem : e . No entanto, não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Passo 4

Então, aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função, temos:
Agora, vamos derivar em relação a .

Passo 5

A derivada de em relação a é , porque a derivada de é , onde .

Passo 6

Substituindo de volta, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 8

A função novamente é um produto de duas funções de : e . Então, precisamos usar a regra do produto para derivar.

Passo 9

Aplicando a regra do produto:

Passo 10

Vamos derivar cada parte separadamente:
  1. (usando a regra da cadeia)

Passo 11

Substituindo as derivadas, temos:
Podemos fatorar :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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