Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem em
e
da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função
é um produto de duas funções que envolvem
:
e
. No entanto,
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero.
Passo 4
Então, aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função, temos:
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
, onde
.
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
é tratado como uma constante.
Passo 8
A função
novamente é um produto de duas funções de
:
e
. Então, precisamos usar a regra do produto para derivar.
Passo 9
Aplicando a regra do produto:
Passo 10
Vamos derivar cada parte separadamente:
-
-
(usando a regra da cadeia)
Passo 11
Substituindo as derivadas, temos:
Podemos fatorar
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
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©
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