Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
da função
. Isso envolve entender como derivar funções que têm senos e produtos de variáveis. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A função dentro do seno é
. Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante:
Passo 4
Substituindo essa derivada de
de volta na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Usando novamente a regra da cadeia, temos:
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo essa derivada de
na expressão de
, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
e