Calcule as derivadas parciais de ordem em x e y: f(x, y) = sen(5 x^3 y - 7 x y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e da função . Isso envolve entender como derivar funções que têm senos e produtos de variáveis. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A função dentro do seno é . Pela regra da cadeia, a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:

Passo 4

Substituindo essa derivada de de volta na expressão de , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Usando novamente a regra da cadeia, temos:

Passo 6

Derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo essa derivada de na expressão de , temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
e

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