Calcule (usando integração por partes)
integral sen x sen 3 x d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver o exercício de calcular a integral de integral u , dv = u cdot v - integral v , du usando integração por partes. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher quais funções serão du = cos x , dx e v = integral sin 3x , dx = -13 cos 3x na nossa integral. Vamos deixar e . Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral sin x cdot sin 3x , dx = u cdot v - integral v , du
= sin x cdot (-13 cos 3x) - integral (-13 cos 3x) cdot cos x , dx
= -13 sin x cos 3x + 13 integral cos x cos 3x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral cos A cos B = 12 [cos(A+B) + cos(A-B)] . Para isso, podemos usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de cossenos:
cos x cos 3x = 12 [cos(4x) + cos(-2x)] = 12 [cos 4x + cos 2x]

Passo 5

Substituindo isso na integral:
13 integral cos x cos 3x , dx = 13 cdot 12 integral (cos 4x + cos 2x) , dx
= 16 ( integral cos 4x , dx + integral cos 2x , dx )
= 16 ( 14 sin 4x + 12 sin 2x ) + C
= 124 sin 4x + 112 sin 2x + C

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral sin x sin 3x , dx = -13 sin x cos 3x + 124 sin 4x + 112 sin 2x + C

Resposta

A integral de -13 sin x cos 3x + 124 sin 4x + 112 sin 2x + C é:

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