Calcule as derivadas parciais de ordem em x e y: f(x, y) = (5 x^2 - 3 x^3 y + 3 x y^2) / (2 x^2 - 4 x^2 y + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em e da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente nas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Como é uma fração, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então a derivada de em relação a é:

Passo 3

Vamos identificar e e calcular suas derivadas parciais em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a expressão acima, mas mantendo-a em termos de e , obtemos a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usaremos novamente a regra do quociente:

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 8

Substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:

Passo 9

Simplificando a expressão acima, mantemos a derivada parcial em relação a em termos de e :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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