Calcule (usando substituição)
integral0^pi3 sen^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular utilizando substituição. Isso está ligado ao estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de seno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão e depois aplicar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^3 x = sin x cdot (1 - cos^2 x) usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que pode ser reescrito como . E como , podemos substituir:

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral0^pi3 sin x (1 - cos^2 x) , dx
Vamos distribuir a integral0^pi3 sin x , dx - integral0^pi3 sin x cos^2 x , dx :

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela primeira:
integral sin x , dx = -cos x + C

Passo 5

Agora, para a segunda integral, - integral u^2 , du = -( u^33 ) + C = -cos^3 x3 + C , vamos usar a substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
integral sin^3 x , dx = -cos x + cos^3 x3 + C

Passo 7

Vamos aplicar os limites de integração de 0 a [ -cos x + cos^3 x3 ]0^pi3 :
-cos(pi3) + cos^3(pi3)3 = -(12) + (12)^33 = -12 + 124 = -1224 + 124 = -1124
Calculando em -cos(0) + cos^3(0)3 = -1 + 13 = -23 :
E em :

Passo 8

Subtraindo os valores:
-1124 - (-23) = -1124 + 1624 = 524

Resposta

O valor da integral é .

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