Calcule (usando substituição)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular
utilizando substituição. Isso está ligado ao estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de seno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão e depois aplicar a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que
pode ser reescrito como
. E como
, podemos substituir:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Vamos distribuir a
:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela primeira:
Passo 5
Agora, para a segunda integral,
, vamos usar a substituição. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes:
Passo 7
Vamos aplicar os limites de integração de 0 a
:
Calculando em
:
E em
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral é
.
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Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
(k)
Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
: