Calcule (usando substituição)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular utilizando substituição. Isso está ligado ao estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de seno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão e depois aplicar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que pode ser reescrito como . E como , podemos substituir:

Passo 3

Agora, a integral fica:
Vamos distribuir a :

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela primeira:

Passo 5

Agora, para a segunda integral, , vamos usar a substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:

Passo 7

Vamos aplicar os limites de integração de 0 a :
Calculando em :
E em :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
Seja . Calcule:
Calcule as derivadas parciais de ordem em e :