Calcule as derivadas parciais de ordem em e .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem em e da função . Ou seja, queremos saber como a função muda quando a gente varia somente o ou somente o , mantendo o outro constante. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, tratando uma variável como constante enquanto diferenciamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Nessa parte, consideramos como uma constante.
A função é .
Vamos derivar cada termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • A constante permanece.
    • A derivada de é .
    • Então, .
  2. Derivada de em relação a :
    • A constante permanece.
    • A derivada de é .
    • Então, .
Agora, juntando os dois resultados:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Aqui, consideramos como uma constante.
A função continua sendo .
Vamos derivar cada termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • A constante permanece.
    • A derivada de é .
    • Então, .
  2. Derivada de em relação a :
    • A constante permanece.
    • A derivada de é .
    • Então, .
Agora, juntando os dois resultados:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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