Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem em
e
da função
. Ou seja, queremos saber como a função muda quando a gente varia somente o
ou somente o
, mantendo o outro constante. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, tratando uma variável como constante enquanto diferenciamos em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Nessa parte, consideramos
como uma constante.
A função é
.
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - A constante
permanece. - A derivada de
é . - Então,
.
- A constante
-
Derivada de
em relação a : - A constante
permanece. - A derivada de
é . - Então,
.
- A constante
Agora, juntando os dois resultados:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Aqui, consideramos
como uma constante.
A função continua sendo
.
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - A constante
permanece. - A derivada de
é . - Então,
.
- A constante
-
Derivada de
em relação a : - A constante
permanece. - A derivada de
é . - Então,
.
- A constante
Agora, juntando os dois resultados:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Seja
. Calcule:
Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
:
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
: