Calcule as derivadas parciais de ordem em e :

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é fundamental quando temos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é uma função exponencial onde o expoente depende de e . Para derivar essa função em relação a , aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Então, temos:
Agora, derivamos o expoente em relação a :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra da cadeia:
Derivando o expoente em relação a :
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

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Calcule as derivadas parciais de ordem em e :
Seja . Calcule:
Use a definição para mostrar que . (Lembre que primeiro conjectura-se o , em seguida, prova-se o limite.)