Use a definição para mostrar que . (Lembre que primeiro conjectura-se o , em seguida, prova-se o limite.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a definição de limite. O que a questão pede é provar que quando tende ao infinito, a expressão se aproxima de 2. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existir um número tal que para todo , a diferença . No nosso caso, e queremos mostrar que .
Passo 3
Vamos começar calculando a diferença :
Então, queremos que .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um tal que para todo , . Para isso, resolvemos a inequação:
Então, podemos escolher .
Passo 5
Com isso, mostramos que para qualquer , existe um tal que para todo , a diferença . Isso confirma, segundo a definição, que o limite é realmente 2.