Use a definição para mostrar que lim 2 n^2-1n^2=2. (Lembre que primeiro conjectura-se o n0, em seguida, prova-se o limite.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a definição de limite. O que a questão pede é provar que quando tende ao infinito, a expressão se aproxima de 2. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existir um número tal que para todo , a diferença . No nosso caso, e queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos começar calculando a diferença | 2n^2 - 1n^2 - 2 | = | 2n^2 - 1 - 2n^2n^2 | = | -1n^2 | = 1n^2 :
Então, queremos que .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um 1n^2 < epsilon implies n^2 > 1epsilon implies n > raiz1epsilon tal que para todo , . Para isso, resolvemos a inequação:
Então, podemos escolher .

Passo 5

Com isso, mostramos que para qualquer , existe um tal que para todo , a diferença . Isso confirma, segundo a definição, que o limite é realmente 2.

Resposta

limn to infty 2n^2 - 1n^2 = 2

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