Determine se a série converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule a soma. sumn=1^infty 1216 n^2+8 n-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, ainda vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para entender melhor o comportamento da série.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o denominador . Procuramos dois números que, quando multiplicados, dão (produto de ) e, quando somados, dão . Esses números são e .

Passo 4

Reescrevemos o denominador utilizando esses números:
16n^2 + 12n - 4n - 3 = 4n(4n + 3) -1(4n + 3) = (4n -1)(4n +3)
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 5

Agora, vamos decompor a fração 12(4n -1)(4n +3) = A4n -1 + B4n +3 em frações parciais. Assumimos que:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 12 = A(4n +3) + B(4n -1) , temos:
Vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 7

Escolhendo 12 = A(4 cdot 14 +3) + B(4 cdot 14 -1) 12 = A(1 +3) + B(1 -1) 12 = 4A A = 3 :

Passo 8

Escolhendo 12 = A(4 cdot -34 +3) + B(4 cdot -34 -1) 12 = A(-3 +3) + B(-3 -1) 12 = -4B B = -3 :

Passo 9

Então, as frações parciais ficam:
12(4n -1)(4n +3) = 34n -1 - 34n +3

Passo 10

Agora, a série original pode ser escrita como:
sumn=1^infty ( 34n -1 - 34n +3 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 11

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
( 33 - 37 ) + ( 37 - 311 ) + ( 311 - 315 ) + dots
Perceba que cancela com , e assim por diante. Basicamente, todos os termos intermediários se cancelam.

Passo 12

Restando apenas o primeiro termo de cada par e, no limite, o último termo tende a zero:
limN to infty ( 33 - 34N +3 ) = 1 - 0 = 1

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a 1.

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