Determine se a série converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule a soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, ainda vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para entender melhor o comportamento da série.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o denominador
. Procuramos dois números que, quando multiplicados, dão
(produto de
) e, quando somados, dão
. Esses números são
e
.
Passo 4
Reescrevemos o denominador utilizando esses números:
Então, o denominador fatorado fica
.
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 7
Escolhendo
:
Passo 8
Escolhendo
:
Passo 9
Então, as frações parciais ficam:
Passo 10
Agora, a série original pode ser escrita como:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 11
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Perceba que
cancela com
, e assim por diante. Basicamente, todos os termos intermediários se cancelam.
Passo 12
Restando apenas o primeiro termo de cada par e, no limite, o último termo tende a zero:
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 1.