Calcule as derivadas parciais, pela definição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular as derivadas parciais da função
usando a definição de derivadas parciais. Isso envolve entender como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis (
ou
) mantendo a outra constante. Vamos precisar usar a definição de derivada parcial e aplicar um pouco de álgebra pra simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos ver como
muda quando aumentamos um pouquinho
e deixamos
fixo.
Passo 3
A definição da derivada parcial em relação a
é:
Isso quer dizer que a derivada parcial é o limite da diferença da função quando aumentamos
por um valor bem pequeno
, dividido por
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, substituímos na definição da derivada parcial:
Passo 6
Para simplificar essa expressão, vamos achar um denominador comum:
Passo 7
Vamos expandir os numeradores:
Passo 8
Cancelando termos semelhantes:
Passo 9
Podemos simplificar cancelando o
:
Passo 10
Simplificando ainda mais:
Passo 11
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso mostra como
muda quando aumentamos um pouquinho
mantendo
fixo.
Passo 12
Usando a definição:
Passo 13
Calculando
:
Passo 14
Substituindo na definição da derivada parcial:
Passo 15
Encontrando um denominador comum:
Passo 16
Expandindo os numeradores:
Passo 17
Simplificando termos:
Passo 18
Cancelando o
:
Passo 19
Simplificando final:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Uma Situação de Juízo Final A população de certa espécie de coelhos introduzida em uma ilha isolada é dada por
onde
é medido em meses.
a. Encontre o número de coelhos presentes na ilha inicialmente (em ).
a. Encontre o número de coelhos presentes na ilha inicialmente (em
Determine o volume em função de
e
dos itens abaixo: Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto de altura
e raio
, com teto numa semi-esfera.
Determine o volume em função de
e
dos itens abaixo: Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de altura
e raio
, com teto cônico.
Nos Exercícios 73-80, calcule os limites indicados, quando existirem.
73.
73.