Calcule as derivadas parciais, pela definição

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular as derivadas parciais da função usando a definição de derivadas parciais. Isso envolve entender como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis ( ou ) mantendo a outra constante. Vamos precisar usar a definição de derivada parcial e aplicar um pouco de álgebra pra simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos ver como muda quando aumentamos um pouquinho e deixamos fixo.

Passo 3

A definição da derivada parcial em relação a é:
Isso quer dizer que a derivada parcial é o limite da diferença da função quando aumentamos por um valor bem pequeno , dividido por .

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, substituímos na definição da derivada parcial:

Passo 6

Para simplificar essa expressão, vamos achar um denominador comum:

Passo 7

Vamos expandir os numeradores:

Passo 8

Cancelando termos semelhantes:

Passo 9

Podemos simplificar cancelando o :

Passo 10

Simplificando ainda mais:

Passo 11

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso mostra como muda quando aumentamos um pouquinho mantendo fixo.

Passo 12

Usando a definição:

Passo 13

Calculando :

Passo 14

Substituindo na definição da derivada parcial:

Passo 15

Encontrando um denominador comum:

Passo 16

Expandindo os numeradores:

Passo 17

Simplificando termos:

Passo 18

Cancelando o :

Passo 19

Simplificando final:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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