Calcule as derivadas parciais, pela definição:

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a função . A questão pede para calcular as derivadas parciais dessa função usando a definição de derivada parcial. Vamos precisar entender o que é derivada parcial e como aplicá-la em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A definição de derivada parcial em relação a é:
Vamos substituir a função na definição:
Fatorando :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a definição:
Substituindo a função:
Fatorando :
Sabendo que :

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aplicando a definição:
Substituindo a função:
Expanding :
Então:
Fatorando :
Aproximando para pequeno:
Então:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de são:

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Determine o domínio de:
Em cada caso, dada , encontre: & :
;