Determine o domínio de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir todos os valores de e para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos revisar um pouco sobre domínios de funções e entender os pontos que podem causar problemas, como divisões por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (no nosso caso, e ) para os quais a função produz uma saída válida. No caso de funções que envolvem frações, precisamos ter atenção especial para evitar que o denominador seja zero, já que divisão por zero não está definida.

Passo 3

Olhemos para a nossa função . O denominador dessa fração é . Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser igual a zero. Portanto, precisamos que:

Passo 4

Agora, analisando a inequação , percebemos que o produto de dois números é diferente de zero apenas quando ambos os números são diferentes de zero. Ou seja:
Isso significa que nenhum dos dois valores ou pode ser zero. Se qualquer um deles for zero, o denominador se torna zero, tornando a função indefinida.

Passo 5

Então, o domínio da função consiste em todos os pares ordenados onde e são números reais diferentes de zero. Em termos matemáticos, podemos expressar o domínio como:

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e . Em notação matemática:

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Calcule as derivadas parciais, pela definição:
Em cada caso, dada , encontre: & :
;
Dadas as funções definidas implicitamente abaixo, encontre