Calcule as derivadas parciais de
no ponto
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função
no ponto
. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é
. Usamos a regra da derivada do logaritmo:
Aqui,
. Como
é constante,
também é constante.
Então, derivando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
Usamos novamente a regra da derivada do logaritmo:
Como
é constante, a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Lembrando que
e
, podemos simplificar:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular seus valores no ponto
.
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Substituindo
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de
no ponto
são: