Calcule as derivadas parciais de f no ponto (3, pi/4), onde f(x, y) = ln(x * tg(y)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função no ponto . Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é . Usamos a regra da derivada do logaritmo:
Aqui, . Como é constante, também é constante.
Então, derivando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Usamos novamente a regra da derivada do logaritmo:
Como é constante, a derivada de em relação a é .
Então:
Lembrando que e , podemos simplificar:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular seus valores no ponto .
Primeiro, para :
Segundo, para :
Substituindo :
Então:

Resposta

As derivadas parciais de no ponto são:

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