A função f(x, y, z) = ln(1 - x - y - z) é de classe C^1 ? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar a questão: queremos saber se a função é de classe . Isso envolve entender o que significa uma função ser de classe e verificar se a nossa função atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de classe . Uma função é dita de classe se ela possui derivadas parciais contínuas de primeira ordem em todo o seu domínio. Isso significa que não só a função é diferenciável, mas também que suas derivadas são contínuas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Para que essa função seja de classe , ela precisa ser diferenciável e ter derivadas parciais contínuas.

Passo 4

Primeiro, verificamos a diferenciabilidade da função. A função logaritmo natural é diferenciável quando seu argumento é positivo. Portanto, deve ser verdadeiro para que seja diferenciável.

Passo 5

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:

Passo 6

As derivadas parciais encontradas são expressões racionais que são contínuas sempre que o denominador não é zero, ou seja, dentro do domínio .

Passo 7

Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio onde a função está definida, concluímos que é de classe .

Resposta

Sim, a função é de classe , pois possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas em seu domínio.

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