A função
é de classe
? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar a questão: queremos saber se a função
é de classe
. Isso envolve entender o que significa uma função ser de classe
e verificar se a nossa função atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de classe
. Uma função é dita de classe
se ela possui derivadas parciais contínuas de primeira ordem em todo o seu domínio. Isso significa que não só a função é diferenciável, mas também que suas derivadas são contínuas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Para que essa função seja de classe
, ela precisa ser diferenciável e ter derivadas parciais contínuas.
Passo 4
Primeiro, verificamos a diferenciabilidade da função. A função logaritmo natural
é diferenciável quando seu argumento
é positivo. Portanto,
deve ser verdadeiro para que
seja diferenciável.
Passo 5
Em seguida, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 6
As derivadas parciais encontradas são expressões racionais que são contínuas sempre que o denominador
não é zero, ou seja, dentro do domínio
.
Passo 7
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio onde a função está definida, concluímos que
é de classe
.
Resposta
Sim, a função
é de classe
, pois possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas em seu domínio.