Calcule partial wpartial r, partial wpartial t para w=x y+y z+x z, x=r, y=r cos t e z=r sen t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e . A função dada é , e as variáveis estão definidas como , e . Para resolver, vamos usar propriedades de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de w = (r)(r cos t) + (r cos t)(r sen t) + (r)(r sen t) , w = r^2 cos t + r^2 cos t sen t + r^2 sen t e na função . Isso vai transformar em função de e .
Substituindo:
Simplificando os produtos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial r = 2r cos t + 2r cos t sen t + 2r sen t em relação a partial wpartial r = 2r (cos t + cos t sen t + sen t) , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
Derivando cada termo com relação a :
Podemos fatorar :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial t = r^2 (-sen t) + r^2 (cos^2 t - sen^2 t) + r^2 cos t em relação a partial wpartial t = -r^2 sen t + r^2 (cos^2 t - sen^2 t) + r^2 cos t , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Derivando cada termo com relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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