Determine as derivadas parciais da função dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de derivadas parciais e as regras de derivação para funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar a função considerando
como uma constante.
A função é:
A derivada da função em relação a
será:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente.
-
Para :
- A derivada de em relação a
é . - Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a , onde . - Então:
- A derivada de em relação a
-
Para
: - A derivada de
em relação a é . - Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a , onde . - Então:
- A derivada de
Passo 4
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Passo 5
Vamos agora encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função é:
A derivada da função em relação a
será:
Passo 6
Vamos derivar cada termo separadamente.
-
Para :
- A derivada de em relação a
é . - Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a , onde . - Então:
- A derivada de em relação a
-
Para
: - A derivada de
em relação a é . - Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a , onde . - Então:
- A derivada de
Passo 7
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Resposta
As derivadas parciais da função são: