Determine as derivadas parciais da função dada.
f(x, y) = sen(x + y) + cos(x - y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de derivadas parciais e as regras de derivação para funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos derivar a função considerando como uma constante.
A função é:
A derivada da função em relação a será:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Para :
    • A derivada de em relação a é .
    • Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .
    • Então:
  2. Para :
    • A derivada de em relação a é .
    • Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .
    • Então:

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter :

Passo 5

Vamos agora encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
A função é:
A derivada da função em relação a será:

Passo 6

Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Para :
    • A derivada de em relação a é .
    • Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .
    • Então:
  2. Para :
    • A derivada de em relação a é .
    • Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .
    • Então:

Passo 7

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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