Calcule as derivadas parciais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função
. Isso envolve usar o conceito de derivadas parciais, que são derivadas de funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo a outra constante. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes. Vamos derivar cada uma separadamente.
Para a primeira parte,
, a derivada em relação a
é:
Isso porque, ao derivar
, onde
, multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a segunda parte,
, em relação a
.
Aplicando a regra da derivada do logaritmo:
A derivada de
em relação a
é
, já que
é tratada como constante.
Então:
Passo 4
Agora, somamos as duas derivadas parciais que encontramos para obter
:
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começando pela primeira parte,
:
Assim como antes, derivamos
, onde
, multiplicando pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 6
Agora, derivamos a segunda parte,
, em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, já que
é constante.
Então:
Passo 7
Somando as duas derivadas parciais, obtemos
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e