Calcule as derivadas parciais de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso envolve usar o conceito de derivadas parciais, que são derivadas de funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo a outra constante. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem duas partes. Vamos derivar cada uma separadamente.
Para a primeira parte, , a derivada em relação a é:
Isso porque, ao derivar , onde , multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte, , em relação a .
Aplicando a regra da derivada do logaritmo:
A derivada de em relação a é , já que é tratada como constante.
Então:

Passo 4

Agora, somamos as duas derivadas parciais que encontramos para obter :

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Começando pela primeira parte, :
Assim como antes, derivamos , onde , multiplicando pela derivada de em relação a , que é .

Passo 6

Agora, derivamos a segunda parte, , em relação a :
A derivada de em relação a é , já que é constante.
Então:

Passo 7

Somando as duas derivadas parciais, obtemos :

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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