A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais
, onde
e
medem os insumos. Faça um mapa de contorno de
mostrando as curvas de produção constante em
e 2 .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função de produção
, onde
e
são os insumos usados pra produzir uma mercadoria. O objetivo é fazer um mapa de contorno dessa função, ou seja, desenhar as curvas que representam níveis de produção constantes para os valores 16, 12, 8, 4 e 2. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função de produção em equações que representem essas curvas e depois descrevê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de produção constante. Basicamente, são linhas no gráfico onde a função de produção
mantém um valor fixo. Ou seja, para cada nível de produção
, a gente tem a equação
. No nosso caso, vamos ter cinco equações diferentes:
,
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos transformar a função de produção para cada valor de
. Partindo da equação geral
, vamos isolar
em função de
e
. Primeiro, dividimos os dois lados por 4:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar as raízes:
Isso simplifica para:
Agora, isolamos
:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para obter
:
Passo 4
Com a equação de
em função de
e
pronta, vamos agora escrever as equações para cada valor específico de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos as equações das curvas para cada nível de produção, podemos entender como elas se comportam no gráfico. Todas as curvas têm a forma
, onde
é uma constante que depende de
. Isso significa que, à medida que o nível de produção
aumenta, a constante
também aumenta, fazendo com que as curvas se afastem do eixo
. Essas curvas são hipérboles que se aproximam do eixo
conforme
aumenta.
Resposta
As curvas de produção constante para os níveis
e
são dadas por:
Essas equações representam as curvas de contorno no mapa de produção, mostrando diferentes níveis de produção constante conforme os insumos
e
variam.
Exercícios relacionados
A função
está definida por
encontre:
;
Calcule o valor da função nos pontos específicos.
Calcule as derivadas parciais de
.
A indústria FAZBEM possui sua produtividade modelada por:
. Atualmente, ela possui os seguintes investimentos:
e
. Pretende-se aumentar em R
, 00 o investimento em trabalho. Determine o ganho produtivo do processo.