A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais , onde e medem os insumos. Faça um mapa de contorno de mostrando as curvas de produção constante em e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função de produção , onde e são os insumos usados pra produzir uma mercadoria. O objetivo é fazer um mapa de contorno dessa função, ou seja, desenhar as curvas que representam níveis de produção constantes para os valores 16, 12, 8, 4 e 2. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função de produção em equações que representem essas curvas e depois descrevê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de produção constante. Basicamente, são linhas no gráfico onde a função de produção mantém um valor fixo. Ou seja, para cada nível de produção , a gente tem a equação . No nosso caso, vamos ter cinco equações diferentes: , , , e .

Passo 3

Agora, vamos transformar a função de produção para cada valor de . Partindo da equação geral , vamos isolar em função de e . Primeiro, dividimos os dois lados por 4:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar as raízes:
Isso simplifica para:
Agora, isolamos :
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para obter :

Passo 4

Com a equação de em função de e pronta, vamos agora escrever as equações para cada valor específico de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que temos as equações das curvas para cada nível de produção, podemos entender como elas se comportam no gráfico. Todas as curvas têm a forma , onde é uma constante que depende de . Isso significa que, à medida que o nível de produção aumenta, a constante também aumenta, fazendo com que as curvas se afastem do eixo . Essas curvas são hipérboles que se aproximam do eixo conforme aumenta.

Resposta

As curvas de produção constante para os níveis e são dadas por:
Essas equações representam as curvas de contorno no mapa de produção, mostrando diferentes níveis de produção constante conforme os insumos e variam.

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;
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