Calcule as derivadas parciais de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função . Isso cai no conteúdo de derivadas parciais e regras de derivação, especificamente a regra do produto. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra do produto para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é o produto de duas funções:
Para usar a regra do produto, lembramos que:
Vamos derivar cada parte:
  • (derivada de em relação a é 1, e é constante)
  • (derivada da seno é cosseno)
Agora, aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usamos novamente a regra do produto:
Derivando cada parte:
  • (derivada de em relação a é 1, e é constante)
  • (derivada da seno é cosseno, mas como temos , a cadeia dá um sinal negativo)
Aplicando a regra:

Resposta

As derivadas parciais de são:

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Seja a função de produção para a qual . Faça um mapa de curvas de nível de mostrando as curvas de produção constante em e 2 .
A função está definida por encontre:
;
Calcule as derivadas de primeira ordem da função .
Sendo sen , encontre as derivadas parciais de segunda ordem de .