Seja
a função de produção para a qual
. Faça um mapa de curvas de nível de
mostrando as curvas de produção constante em
e 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente traçar um mapa de curvas de nível para a função de produção
. Isso faz parte do conteúdo de Funções de Produção na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las usando a equação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor constante
, a curva de nível é formada pelos pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função de produção. Queremos encontrar as curvas onde
é igual a 8, 6, 4 e 2. Vamos começar igualando a função a um valor constante
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para expressar
em função de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Então, a equação da curva de nível fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir cada valor de
para obter as equações das curvas de nível:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Cada uma dessas equações representa uma hipérbole no plano
. Essas hipérboles são as curvas de nível da função de produção
. Para visualizar, você pode plotar cada equação no mesmo gráfico, resultando em quatro hipérboles diferentes correspondentes aos níveis de produção constante de 8, 6, 4 e 2.
Resposta
As curvas de nível da função de produção
para os níveis constantes 8, 6, 4 e 2 são dadas por:
Essas equações representam hipérboles que formam o mapa de curvas de nível solicitado.
Exercícios relacionados
A função
está definida por
encontre:
;
Calcule o valor da função nos pontos específicos.
Calcule as derivadas parciais de
.
Calcule as derivadas de primeira ordem da função
.