Seja a função de produção para a qual . Faça um mapa de curvas de nível de mostrando as curvas de produção constante em e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente traçar um mapa de curvas de nível para a função de produção . Isso faz parte do conteúdo de Funções de Produção na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las usando a equação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor constante , a curva de nível é formada pelos pontos que satisfazem .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função de produção. Queremos encontrar as curvas onde é igual a 8, 6, 4 e 2. Vamos começar igualando a função a um valor constante :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para expressar em função de :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Então, a equação da curva de nível fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir cada valor de para obter as equações das curvas de nível:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Cada uma dessas equações representa uma hipérbole no plano . Essas hipérboles são as curvas de nível da função de produção . Para visualizar, você pode plotar cada equação no mesmo gráfico, resultando em quatro hipérboles diferentes correspondentes aos níveis de produção constante de 8, 6, 4 e 2.

Resposta

As curvas de nível da função de produção para os níveis constantes 8, 6, 4 e 2 são dadas por:
Essas equações representam hipérboles que formam o mapa de curvas de nível solicitado.

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A função está definida por encontre:
;
Calcule o valor da função nos pontos específicos.
Calcule as derivadas parciais de .
Calcule as derivadas de primeira ordem da função .