Calcule
e
, sendo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de
em relação a
e
. Estamos lidando com funções de várias variáveis e vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Vamos precisar das fórmulas para derivadas parciais compostas e entender como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Para calcular
e
, usamos a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite derivar uma função composta, isto é, uma função que depende de outras funções.
A fórmula geral da regra da cadeia para uma função
que depende de
e
é:
E de forma similar para
:
Passo 4
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 6
Vamos agora substituir todas as derivadas encontradas na fórmula da regra da cadeia para
:
Simplificando:
Passo 7
Fazendo o mesmo para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Calcule as derivadas parciais das funções dadas: