Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=e^x / y, x=r^2-s^2, y=r^3+s^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a e . Estamos lidando com funções de várias variáveis e vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Vamos precisar das fórmulas para derivadas parciais compostas e entender como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
Queremos encontrar e .

Passo 3

Para calcular partial wpartial r = partial wpartial x cdot partial xpartial r + partial wpartial y cdot partial ypartial r e partial wpartial s = partial wpartial x cdot partial xpartial s + partial wpartial y cdot partial ypartial s , usamos a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite derivar uma função composta, isto é, uma função que depende de outras funções.
A fórmula geral da regra da cadeia para uma função que depende de e é:
E de forma similar para :

Passo 4

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de partial wpartial x = partialpartial x ( e^x / y ) = e^x / yy em relação a partial wpartial y = partialpartial y ( e^x / y ) = -x cdot e^x / yy^2 e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial r = partialpartial r ( r^2 - s^2 ) = 2r e partial xpartial s = partialpartial s ( r^2 - s^2 ) = -2s em relação a partial ypartial r = partialpartial r ( r^3 + s^3 ) = 3r^2 e partial ypartial s = partialpartial s ( r^3 + s^3 ) = 3s^2 :

Passo 6

Vamos agora substituir todas as derivadas encontradas na fórmula da regra da cadeia para partial wpartial r = e^x / yy cdot 2r + ( -x cdot e^x / yy^2 ) cdot 3r^2 :
partial wpartial r = 2r cdot e^x / yy - 3r^2x cdot e^x / yy^2
Simplificando:

Passo 7

Fazendo o mesmo para partial wpartial s = e^x / yy cdot (-2s) + ( -x cdot e^x / yy^2 ) cdot 3s^2 :
partial wpartial s = -2s cdot e^x / yy - 3s^2x cdot e^x / yy^2
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial r = 2r cdot e^x / yy - 3r^2x cdot e^x / yy^2
partial wpartial s = -2s cdot e^x / yy - 3s^2x cdot e^x / yy^2

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