Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = r^3 - s^3, r = 1 / (1 + t), s = t / (t + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a , onde depende de e . O enunciado é:
Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia da derivada, que serve para derivar funções compostas. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Como :

Passo 3

Agora, vamos derivar e em relação a .
Para :
Para :
Usamos a regra do quociente:

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Agora, substituímos e pelas suas expressões em termos de :
Substituindo na expressão:

Passo 6

Fatorando o denominador:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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