Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(g) z=e^x^2-2 y^2+4 x
R: partial zpartial x=(2 x+4) e^x^2-2 y^2+4 x ; partial zpartial y=-4 y e^x^2-2 y^2+4 x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisamos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e como aplicar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = dzdu cdot partial upartial x em relação a partial zpartial x = e^x^2 - 2y^2 + 4x cdot (2x + 4) , ou seja, . Lembre-se que, ao fazer derivadas parciais, tratamos como uma constante.
A função é . Vamos chamar o expoente de . Então, .
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Sabemos que e .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = dzdu cdot partial upartial y em relação a partial zpartial y = e^x^2 - 2y^2 + 4x cdot (-4y) , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Novamente, temos e .
Usando a regra da cadeia:
Sabemos que e .
Então,

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial zpartial x = (2x + 4) e^x^2 - 2y^2 + 4x
partial zpartial y = -4y e^x^2 - 2y^2 + 4x

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