Calcule a integral de linha.
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
. O caminho
é um triângulo com vértices em
,
e
, e vamos percorrê-lo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de caminhos e calcular a integral ao longo de cada segmento do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o triângulo em três segmentos de reta: de
a
, de
a
e de
a
. Isso facilita o cálculo da integral, pois podemos calcular cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos parametrizar cada segmento:
-
Segmento AB: de
a . - Podemos parametrizar usando
, onde varia de a . - Então,
. - A derivada de
em relação a é , e . - O elemento de comprimento diferencial é
.
- Podemos parametrizar usando
-
Segmento BC: de
a . - Aqui,
permanece constante em , então . - Parametrizamos
, onde varia de a . - As derivadas são
e . - Então,
.
- Aqui,
-
Segmento CA: de
a . - Podemos parametrizar usando
, onde varia de a . - Então,
. - As derivadas são
e . - Então,
.
- Podemos parametrizar usando
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral em cada segmento:
-
Integral no segmento AB:
-
Integral no segmento BC:
-
Integral no segmento CA:Expandindo
: Então,
Passo 5
Finalmente, somamos as integrais de todos os segmentos para obter o valor total da integral de linha:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.