Calcule a integral de linha. integralC x y d s, sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,1), no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: integralC x y , d s. O caminho C é um triângulo com vértices em A(0,0), B(1,0) e C(1,1), e vamos percorrê-lo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de caminhos e calcular a integral ao longo de cada segmento do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o triângulo em três segmentos de reta: de A a B, de B a C e de C a A. Isso facilita o cálculo da integral, pois podemos calcular cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos parametrizar cada segmento:
  1. Segmento AB: de A(0,0) a B(1,0).
    • Podemos parametrizar usando x = t, onde t varia de 0 a 1.
    • Então, y = 0.
    • A derivada de x em relação a t é dx/dt = 1, e dy/dt = 0.
    • O elemento de comprimento diferencial é ds = raiz(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 , dt = 1 , dt.
  2. Segmento BC: de B(1,0) a C(1,1).
    • Aqui, x permanece constante em 1, então x = 1.
    • Parametrizamos y = t, onde t varia de 0 a 1.
    • As derivadas são dx/dt = 0 e dy/dt = 1.
    • Então, ds = raiz0^2 + 1^2 , dt = 1 , dt.
  3. Segmento CA: de C(1,1) a A(0,0).
    • Podemos parametrizar usando x = 1 - t, onde t varia de 0 a 1.
    • Então, y = 1 - t.
    • As derivadas são dx/dt = -1 e dy/dt = -1.
    • Então, ds = raiz(-1)^2 + (-1)^2 , dt = raiz2 , dt.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. Integral no segmento AB:
    integralAB x y , ds = integral0^1 (t)(0) cdot 1 , dt = integral0^1 0 , dt = 0
  2. Integral no segmento BC:
    integralBC x y , ds = integral0^1 (1)(t) cdot 1 , dt = integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 12
  3. Integral no segmento CA:
    integralCA x y , ds = integral0^1 (1 - t)(1 - t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^1 (1 - t)^2 , dt
    Expandindo (1 - t)^2:
    (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2
    Então,
    raiz2 integral0^1 (1 - 2t + t^2) , dt = raiz2 [ t - t^2 + t^33 ]0^1 = raiz2 (1 - 1 + 13) = raiz23

Passo 5

Finalmente, somamos as integrais de todos os segmentos para obter o valor total da integral de linha:
0 + 12 + raiz23 = 12 + raiz23

Resposta

A integral de linha integralC x y , d s é igual a 12 + raiz23.

Exercícios relacionados