Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre uma série telescópica. O objetivo é determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos descobrir qual é a sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde, ao expandirmos seus termos, muitos deles se cancelam, deixando apenas alguns termos no começo e no fim. Isso facilita muito encontrar a soma da série.
Passo 3
Para transformar nossa série em uma forma telescópica, vamos decompô-la em frações mais simples. Queremos expressar
como uma soma de frações parciais. Suponhamos que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar os valores de A, B, C e D.
Passo 5
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos que:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, reescrevemos a série original usando essa decomposição:
Passo 7
Vamos separar a série em quatro séries diferentes:
Passo 8
Observamos que as séries
e
são harmônicas e, individualmente, divergem. Porém, ao subtrairmos
de
, os termos se cancelam telescopicamente, restando apenas o primeiro termo:
Quando
, isso tende a 1.
Passo 9
As outras duas séries são:
Sabemos que
e
.
Passo 10
Agora, somando tudo:
Resposta
A série
converge e sua soma é 2.