Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
d) summ=1^infty 2 m+1m^2(m+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre uma série telescópica. O objetivo é determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos descobrir qual é a sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde, ao expandirmos seus termos, muitos deles se cancelam, deixando apenas alguns termos no começo e no fim. Isso facilita muito encontrar a soma da série.

Passo 3

Para transformar nossa série em uma forma telescópica, vamos decompô-la em frações mais simples. Queremos expressar 2m+1m^2(m+1)^2 = Am + Bm^2 + Cm+1 + D(m+1)^2 como uma soma de frações parciais. Suponhamos que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2m + 1 = A m (m+1)^2 + B (m+1)^2 + C m^2(m+1) + D m^2 para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar os valores de A, B, C e D.

Passo 5

Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos que:
A = 1, B = 1, C = -1, D = 1
Então, a decomposição fica:
2m+1m^2(m+1)^2 = 1m + 1m^2 - 1m+1 + 1(m+1)^2

Passo 6

Agora, reescrevemos a série original usando essa decomposição:
summ=1^infty ( 1m + 1m^2 - 1m+1 + 1(m+1)^2 )

Passo 7

Vamos separar a série em quatro séries diferentes:
summ=1^infty 1m + summ=1^infty 1m^2 - summ=1^infty 1m+1 + summ=1^infty 1(m+1)^2

Passo 8

Observamos que as séries summ=1^N ( 1m - 1m+1 ) = 1 - 1N+1 e são harmônicas e, individualmente, divergem. Porém, ao subtrairmos de , os termos se cancelam telescopicamente, restando apenas o primeiro termo:
Quando , isso tende a 1.

Passo 9

As outras duas séries são:
summ=1^infty 1m^2 e summ=1^infty 1(m+1)^2
Sabemos que e .

Passo 10

Agora, somando tudo:
1 + pi^26 - ( pi^26 - 1 ) = 1 + pi^26 - pi^26 + 1 = 2

Resposta

A série converge e sua soma é 2.

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