Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisamos entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, mesmo que a função atual só dependa de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É a derivada de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos duas variáveis: e .
Vamos calcular as duas derivadas parciais: e .
1. Derivada parcial em relação a :
A função é .
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Vamos chamar:
Agora, calculamos as derivadas de e :
  • (derivada de )
  • (usamos a regra da cadeia para derivar )
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
2. Derivada parcial em relação a :
Observamos que a função não contém a variável . Quando derivamos em relação a uma variável que não está presente na função, a derivada é zero.

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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