Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Precisamos entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, mesmo que a função atual só dependa de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É a derivada de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos duas variáveis:
e
.
Vamos calcular as duas derivadas parciais:
e
.
1. Derivada parcial em relação a
:
A função é
.
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Vamos chamar:
Agora, calculamos as derivadas de
e
:
-
(derivada de ) -
(usamos a regra da cadeia para derivar )
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
2. Derivada parcial em relação a
:
Observamos que a função
não contém a variável
. Quando derivamos em relação a uma variável que não está presente na função, a derivada é zero.
Resposta
As derivadas parciais da função são:
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no ponto
.
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