Determinar o vetor gradiente da função f(x, y) = x^2 + 1/2 y^2 no ponto 1,3.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para determinar o vetor gradiente da função no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar o vetor gradiente de uma função de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é formado pelas suas derivadas parciais em relação a e . Matematicamente, é representado por:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Dada a função , a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Continuando com a mesma função:
Note que a derivada de em relação a é , já que trazemos o expoente para frente multiplicando pelo coeficiente.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto específico . Substituindo e :

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto é .

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