Determinar o vetor gradiente da função no ponto .

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para determinar o vetor gradiente da função no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar o vetor gradiente de uma função de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é formado pelas suas derivadas parciais em relação a e . Matematicamente, é representado por:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Dada a função , a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Continuando com a mesma função:
Note que a derivada de em relação a é , já que trazemos o expoente para frente multiplicando pelo coeficiente.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto específico . Substituindo e :

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto é .

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Suponhamos que o potencial elétrico no ponto seja dado por
,
onde é dado em volts e em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em na direção dos eixos , y e , respectivamente.
Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função . Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água .
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.