Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para determinar o vetor gradiente da função
no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar o vetor gradiente de uma função de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é formado pelas suas derivadas parciais em relação a
e
. Matematicamente, é representado por:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Dada a função
, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Continuando com a mesma função:
Note que a derivada de
em relação a
é
, já que trazemos o expoente para frente multiplicando pelo coeficiente.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto específico
. Substituindo
e
:
Resposta
O vetor gradiente da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Suponhamos que o potencial elétrico
no ponto
seja dado por
,
onde é dado em volts e
em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em
na direção dos eixos
, y e
, respectivamente.
onde
Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função
. Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água
.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.