Determinar o vetor gradiente das funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa determinar o vetor gradiente da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, no caso, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Para a função , o gradiente é dado por:
Então, nosso objetivo agora é encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. Para :
    • Tratamos como uma constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada é .
  2. Para :
    • Podemos reescrever como .
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada é .
Somando os dois resultados:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, começamos com a função:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. Para :
    • Tratamos como uma constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada é .
  2. Para :
    • Tratamos como uma constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada é .
Somando os dois resultados:

Resposta

Portanto, o vetor gradiente da função é:

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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados. no ponto
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
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