Determinar o vetor gradiente das funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa determinar o vetor gradiente da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, no caso,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Para a função
, o gradiente é dado por:
Então, nosso objetivo agora é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
Para
: - Tratamos
como uma constante. - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada é
.
- Tratamos
-
Para
: - Podemos reescrever como
. - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada é
.
- Podemos reescrever como
Somando os dois resultados:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, começamos com a função:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
Para
: - Tratamos
como uma constante. - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada é
.
- Tratamos
-
Para
: - Tratamos
como uma constante. - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada é
.
- Tratamos
Somando os dois resultados:
Resposta
Portanto, o vetor gradiente da função
é:
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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
no ponto
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Determinar o vetor gradiente das funções:
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.