Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a
e
. Pra isso, vamos usar as regras de derivação básica, focando em tratar uma variável de cada vez enquanto a outra é considerada constante.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é:
Derivando cada termo com relação a
:
- Para
, a derivada é (porque a derivada de é , multiplicado por 6 e por que é constante). - Para
, a derivada é (derivada de é , multiplicado por -7 e por constante).
Então, juntando os resultados:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função continua:
Derivando cada termo com relação a
:
- Para
, a derivada é (porque a derivada de é 1, multiplicado por constante). - Para
, a derivada é (derivada de é , multiplicado por -7 e por constante).
Assim, somando os resultados:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Seja
uma sequência de termos positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem
e
tais que
para todo
então
converge, e (ii) se existe
tal que
para todo
então
diverge. (Use o Exercício
.)
Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l) ;
(b)
(m) ;
©
(n) ;
(d)
(o) ;
(e)
§ ;
(f)
(q) ;
(g)
® ;
(h) .
(s)
(i) ;
(t) ;
(u) ;
(j)
(v) ;
(w) ;
(k)
(x) .
(a)
(l)
(b)
(m)
©
(n)
(d)
(o)
(e)
§
(f)
(q)
(g)
®
(h)
(s)
(i)
(t)
(u)
(j)
(v)
(w)
(k)
(x)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
no ponto
.
Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função
. Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água
.