Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função T(x, y)=x^2 cdot e^y-x y^3. Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água partial Tpartial x e partial Tpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pato que está nadando em uma circunferência, e a temperatura da água nesse lugar é dada pela função . A parada que a gente precisa fazer é encontrar as taxas de variação dessa temperatura em relação a e , ou seja, calcular as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais da matéria de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando a gente tem uma função de mais de uma variável, tipo , a derivada parcial em relação a ( ) mostra como a função muda quando só variamos , mantendo constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular partial Tpartial x = partialpartial x ( x^2 cdot e^y ) - partialpartial x ( x y^3 ) . Pegamos a função partial Tpartial x = 2x cdot e^y - y^3 e derivamos em relação a , tratando como uma constante.
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Tpartial y = partialpartial y ( x^2 cdot e^y ) - partialpartial y ( x y^3 ) . Novamente, pegamos a função partial Tpartial y = x^2 cdot e^y - 3x y^2 e derivamos em relação a , mantendo constante.
Derivando termo a termo:

Resposta

As taxas de variação da temperatura da água são:
partial Tpartial x = 2x cdot e^y - y^3
e
partial Tpartial y = x^2 cdot e^y - 3x y^2

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