Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função . Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pato que está nadando em uma circunferência, e a temperatura da água nesse lugar é dada pela função . A parada que a gente precisa fazer é encontrar as taxas de variação dessa temperatura em relação a e , ou seja, calcular as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais da matéria de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando a gente tem uma função de mais de uma variável, tipo , a derivada parcial em relação a ( ) mostra como a função muda quando só variamos , mantendo constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Pegamos a função e derivamos em relação a , tratando como uma constante.
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Novamente, pegamos a função e derivamos em relação a , mantendo constante.
Derivando termo a termo:

Resposta

As taxas de variação da temperatura da água são:
e

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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados. no ponto .
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Suponhamos que o potencial elétrico no ponto seja dado por
,
onde é dado em volts e em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em na direção dos eixos , y e , respectivamente.
Determinar o vetor gradiente da função no ponto .