Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função
. Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pato que está nadando em uma circunferência, e a temperatura da água nesse lugar é dada pela função
. A parada que a gente precisa fazer é encontrar as taxas de variação dessa temperatura em relação a
e
, ou seja, calcular as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais da matéria de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando a gente tem uma função de mais de uma variável, tipo
, a derivada parcial em relação a
(
) mostra como a função muda quando só variamos
, mantendo
constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Pegamos a função
e derivamos em relação a
, tratando
como uma constante.
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Novamente, pegamos a função
e derivamos em relação a
, mantendo
constante.
Derivando termo a termo:
Resposta
As taxas de variação da temperatura da água são:
e
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
no ponto
.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Suponhamos que o potencial elétrico
no ponto
seja dado por
,
onde é dado em volts e
em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em
na direção dos eixos
, y e
, respectivamente.
onde
Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.