Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a) sum 1n(raizn+1)
(l) sum(log n)^-s, s>0;
(b) sum n(2 n-1)(3 n+1)
(m) sum(log n)^-log n;
© sum n(n^2+1)(4 n+1)
(n) sum(log n)^-log log n;
(d) sum n(n+1)(n+2)
(o) sum n2^n;
(e) sum 1raizn(n+1)
§ sum 2^n e^-n;
(f) sum 1n raizn+1
(q) sum 3^n e^-n;
(g) sum ln nn raizn+1
® sum(log n) 2^-n;
(h) sum n^23^n.
(s) sum n!2 n^n^2 ;
(i) sum 3^n n^45^n;
(t) sum (n!)^32^n^2;
(u) sum n!3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n+1);
(j) sum 1n^2 log n
(v) sum (n!)^2(2 n)!;
(w) sum 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n+1);
(k) sum(log n)^-1 / n
(x) sum 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)5 cdot 7 cdots(2 n+3).

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Isso envolve estudar séries infinitas, mais especificamente, usando testes de convergência como o Teste da Integral ou o Teste da Comparação. Vamos precisar entender um pouco sobre como comparar essa série com séries conhecidas que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 1n(raizn+1) = 1nraizn + n = 1n^3/2 + n . Podemos dividir o denominador:
1n^3/2 + n approx 1n^3/2
Agora, percebemos que para grande, domina sobre , então podemos aproximar:

Passo 3

Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Como para todo , e sabemos que converge, então pela comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados