Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l)
;
(b)
(m)
;
©
(n)
;
(d)
(o)
;
(e)
§
;
(f)
(q)
;
(g)
®
;
(h)
.
(s)
(i)
;
(t)
;
(u)
;
(j)
(v)
;
(w)
;
(k)
(x)
.
(a)
(l)
(b)
(m)
©
(n)
(d)
(o)
(e)
§
(f)
(q)
(g)
®
(h)
(s)
(i)
(t)
(u)
(j)
(v)
(w)
(k)
(x)
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a série
converge ou diverge. Isso envolve estudar séries infinitas, mais especificamente, usando testes de convergência como o Teste da Integral ou o Teste da Comparação. Vamos precisar entender um pouco sobre como comparar essa série com séries conhecidas que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Podemos dividir o denominador:
Agora, percebemos que para
grande,
domina sobre
, então podemos aproximar:
Passo 3
Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Como
para todo
, e sabemos que
converge, então pela comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Sejam
e
sequências de números reais positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Defina
(a) Se existem
e
tais que
para todo
então
converge. (Mostre que
(b) Se para todo
suficientemente grande e
diverge então
diverge. (Mostre que
domina
, i.e.
para alguma constante
.)
(b) Se
Seja
. Mostre que a série
converge se
e diverge se
.
Seja
uma sequência de termos positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem
e
tais que
para todo
então
converge, e (ii) se existe
tal que
para todo
então
diverge. (Use o Exercício
.)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.