Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l) ;
(b)
(m) ;
©
(n) ;
(d)
(o) ;
(e)
§ ;
(f)
(q) ;
(g)
® ;
(h) .
(s)
(i) ;
(t) ;
(u) ;
(j)
(v) ;
(w) ;
(k)
(x) .

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Isso envolve estudar séries infinitas, mais especificamente, usando testes de convergência como o Teste da Integral ou o Teste da Comparação. Vamos precisar entender um pouco sobre como comparar essa série com séries conhecidas que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos dividir o denominador:
Agora, percebemos que para grande, domina sobre , então podemos aproximar:

Passo 3

Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Como para todo , e sabemos que converge, então pela comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Sejam e sequências de números reais positivos (ou para todo suficientemente grande). Defina
(a) Se existem e tais que para todo então converge. (Mostre que
(b) Se para todo suficientemente grande e diverge então diverge. (Mostre que domina , i.e. para alguma constante .)
Seja . Mostre que a série converge se e diverge se .
Seja uma sequência de termos positivos (ou para todo suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem e tais que
para todo então converge, e (ii) se existe tal que
para todo então diverge. (Use o Exercício .)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.