Seja
uma sequência de termos positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem
e
tais que
para todo
então
converge, e (ii) se existe
tal que
para todo
então
diverge. (Use o Exercício
.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma sequência de termos positivos
e queremos demonstrar o teste de Raabe. Esse teste nos ajuda a decidir se a soma infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar os termos consecutivos da sequência e usar algumas propriedades de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte (i) do teste de Raabe. Queremos mostrar que se existe um número
e um índice
tal que para todo
,
então a série
converge.
Passo 3
Para provar isso, vamos lembrar que o teste de Raabe é uma extensão do teste da razão. Ele nos dá uma condição mais precisa para a convergência das séries. A ideia é que, se a razão entre termos consecutivos decai rapidamente o suficiente, a série converge.
Passo 4
Vamos reorganizar a desigualdade dada:
Isso nos mostra que, para
grande, a razão
está abaixo de uma expressão que tende a 1, mas com uma penalidade de
.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste de Raabe. Pelo teste, se existe um
tal que
com
, então a série
converge.
Passo 6
No nosso caso, temos
o que implica que
Tomando o limite quando
vai para o infinito, conseguimos que
Passo 7
De acordo com o teste de Raabe, como esse limite é maior que 1, a série
converge.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (ii). Queremos mostrar que se existe um
tal que para todo
,
então a série
diverge.
Passo 9
Rearranjando a desigualdade, temos:
Isso indica que a razão entre termos consecutivos não está decaindo o suficiente para garantir a convergência da série.
Passo 10
Aplicando novamente o teste de Raabe, se
a série
diverge. No nosso caso,
portanto,
Passo 11
Como o limite é menor ou igual a 1, o teste de Raabe nos diz que a série
diverge.
Resposta
Portanto, mostramos que sob as condições dadas pelo teste de Raabe, a série
converge na parte (i) e diverge na parte (ii).
Exercícios relacionados
Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l) ;
(b)
(m) ;
©
(n) ;
(d)
(o) ;
(e)
§ ;
(f)
(q) ;
(g)
® ;
(h) .
(s)
(i) ;
(t) ;
(u) ;
(j)
(v) ;
(w) ;
(k)
(x) .
(a)
(l)
(b)
(m)
©
(n)
(d)
(o)
(e)
§
(f)
(q)
(g)
®
(h)
(s)
(i)
(t)
(u)
(j)
(v)
(w)
(k)
(x)
Sejam
e
sequências de números reais positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Defina
(a) Se existem
e
tais que
para todo
então
converge. (Mostre que
(b) Se para todo
suficientemente grande e
diverge então
diverge. (Mostre que
domina
, i.e.
para alguma constante
.)
(b) Se
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
no ponto
.