Seja
uma sequência de termos positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem
e
tais que
para todo
então
converge, e (ii) se existe
tal que
para todo
então
diverge. (Use o Exercício
.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma sequência de termos positivos
e queremos demonstrar o teste de Raabe. Esse teste nos ajuda a decidir se a soma infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar os termos consecutivos da sequência e usar algumas propriedades de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte (i) do teste de Raabe. Queremos mostrar que se existe um número
e um índice
tal que para todo
,
então a série
converge.
Passo 3
Para provar isso, vamos lembrar que o teste de Raabe é uma extensão do teste da razão. Ele nos dá uma condição mais precisa para a convergência das séries. A ideia é que, se a razão entre termos consecutivos decai rapidamente o suficiente, a série converge.
Passo 4
Vamos reorganizar a desigualdade dada:
Isso nos mostra que, para
grande, a razão
está abaixo de uma expressão que tende a 1, mas com uma penalidade de
.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste de Raabe. Pelo teste, se existe um
tal que
com
, então a série
converge.
Passo 6
No nosso caso, temos
o que implica que
Tomando o limite quando
vai para o infinito, conseguimos que
Passo 7
De acordo com o teste de Raabe, como esse limite é maior que 1, a série
converge.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (ii). Queremos mostrar que se existe um
tal que para todo
,
então a série
diverge.
Passo 9
Rearranjando a desigualdade, temos:
Isso indica que a razão entre termos consecutivos não está decaindo o suficiente para garantir a convergência da série.
Passo 10
Aplicando novamente o teste de Raabe, se
a série
diverge. No nosso caso,
portanto,
Passo 11
Como o limite é menor ou igual a 1, o teste de Raabe nos diz que a série
diverge.
Resposta
Portanto, mostramos que sob as condições dadas pelo teste de Raabe, a série
converge na parte (i) e diverge na parte (ii).