Seja uma sequência de termos positivos (ou para todo suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem e tais que
para todo então converge, e (ii) se existe tal que
para todo então diverge. (Use o Exercício .)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma sequência de termos positivos e queremos demonstrar o teste de Raabe. Esse teste nos ajuda a decidir se a soma infinita converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar os termos consecutivos da sequência e usar algumas propriedades de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte (i) do teste de Raabe. Queremos mostrar que se existe um número e um índice tal que para todo ,
então a série converge.

Passo 3

Para provar isso, vamos lembrar que o teste de Raabe é uma extensão do teste da razão. Ele nos dá uma condição mais precisa para a convergência das séries. A ideia é que, se a razão entre termos consecutivos decai rapidamente o suficiente, a série converge.

Passo 4

Vamos reorganizar a desigualdade dada:
Isso nos mostra que, para grande, a razão está abaixo de uma expressão que tende a 1, mas com uma penalidade de .

Passo 5

Agora, aplicamos o teste de Raabe. Pelo teste, se existe um tal que
com , então a série converge.

Passo 6

No nosso caso, temos
o que implica que
Tomando o limite quando vai para o infinito, conseguimos que

Passo 7

De acordo com o teste de Raabe, como esse limite é maior que 1, a série converge.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (ii). Queremos mostrar que se existe um tal que para todo ,
então a série diverge.

Passo 9

Rearranjando a desigualdade, temos:
Isso indica que a razão entre termos consecutivos não está decaindo o suficiente para garantir a convergência da série.

Passo 10

Aplicando novamente o teste de Raabe, se
a série diverge. No nosso caso,
portanto,

Passo 11

Como o limite é menor ou igual a 1, o teste de Raabe nos diz que a série diverge.

Resposta

Portanto, mostramos que sob as condições dadas pelo teste de Raabe, a série converge na parte (i) e diverge na parte (ii).

Exercícios relacionados

Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l) ;
(b)
(m) ;
©
(n) ;
(d)
(o) ;
(e)
§ ;
(f)
(q) ;
(g)
® ;
(h) .
(s)
(i) ;
(t) ;
(u) ;
(j)
(v) ;
(w) ;
(k)
(x) .
Sejam e sequências de números reais positivos (ou para todo suficientemente grande). Defina
(a) Se existem e tais que para todo então converge. (Mostre que
(b) Se para todo suficientemente grande e diverge então diverge. (Mostre que domina , i.e. para alguma constante .)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados. no ponto .