Seja (an)n in N uma sequência de termos positivos (ou an>0 para todo n suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem r>0 e N tais que
an+1an <= 1-1n-rn
para todo n >= N então sum an converge, e (ii) se existe N tal que
an+1an >= 1-1n
para todo n >= N então sum an diverge. (Use o Exercício 2.16 com bn+1=n.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma sequência de termos positivos e queremos demonstrar o teste de Raabe. Esse teste nos ajuda a decidir se a soma infinita converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar os termos consecutivos da sequência e usar algumas propriedades de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte (i) do teste de Raabe. Queremos mostrar que se existe um número an+1an <= 1 - 1n - rn, e um índice tal que para todo ,
então a série converge.

Passo 3

Para provar isso, vamos lembrar que o teste de Raabe é uma extensão do teste da razão. Ele nos dá uma condição mais precisa para a convergência das séries. A ideia é que, se a razão entre termos consecutivos decai rapidamente o suficiente, a série converge.

Passo 4

Vamos reorganizar a desigualdade dada:
an+1an <= 1 - 1 + rn
Isso nos mostra que, para grande, a razão está abaixo de uma expressão que tende a 1, mas com uma penalidade de .

Passo 5

Agora, aplicamos o teste de Raabe. Pelo teste, se existe um limn to infty n (1 - an+1an) = 1 + r, tal que
com , então a série converge.

Passo 6

No nosso caso, temos
1 - an+1an >= 1 + rn,
o que implica que
n (1 - an+1an) >= 1 + r
Tomando o limite quando limn to infty n (1 - an+1an) >= 1 + r > 1 vai para o infinito, conseguimos que

Passo 7

De acordo com o teste de Raabe, como esse limite é maior que 1, a série converge.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (ii). Queremos mostrar que se existe um an+1an >= 1 - 1n, tal que para todo ,
então a série diverge.

Passo 9

Rearranjando a desigualdade, temos:
an+1an >= 1 - 1n
Isso indica que a razão entre termos consecutivos não está decaindo o suficiente para garantir a convergência da série.

Passo 10

Aplicando novamente o teste de Raabe, se
limn to infty n (1 - an+1an) <= 1,
a série 1 - an+1an <= 1n, diverge. No nosso caso,
limn to infty n (1 - an+1an) <= 1
portanto,

Passo 11

Como o limite é menor ou igual a 1, o teste de Raabe nos diz que a série diverge.

Resposta

Portanto, mostramos que sob as condições dadas pelo teste de Raabe, a série converge na parte (i) e diverge na parte (ii).

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