Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos calcular as derivadas parciais dessa função nos pontos dados, especificamente no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos permite derivar a função em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. Ao derivar em relação a
, consideramos
como constante.
A função pode ser reescrita como:
Aplicando a regra do poder na derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. Aqui,
é considerado constante.
A função continua:
Aplicando a regra do poder na derivada:
Resposta
Calculando as derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Portanto, as derivadas parciais no ponto
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Seja
uma sequência de termos positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem
e
tais que
para todo
então
converge, e (ii) se existe
tal que
para todo
então
diverge. (Use o Exercício
.)
Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função
. Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água
.
Suponhamos que o potencial elétrico
no ponto
seja dado por
,
onde é dado em volts e
em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em
na direção dos eixos
, y e
, respectivamente.
onde