Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados. no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos calcular as derivadas parciais dessa função nos pontos dados, especificamente no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos permite derivar a função em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por . Ao derivar em relação a , consideramos como constante.
A função pode ser reescrita como:
Aplicando a regra do poder na derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por . Aqui, é considerado constante.
A função continua:
Aplicando a regra do poder na derivada:

Resposta

Calculando as derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Portanto, as derivadas parciais no ponto são:

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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Seja uma sequência de termos positivos (ou para todo suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem e tais que
para todo então converge, e (ii) se existe tal que
para todo então diverge. (Use o Exercício .)
Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência onde a temperatura da água é dada pela função . Determine as expressões referentes às taxas de variações da temperatura da água .
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,
onde é dado em volts e em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em na direção dos eixos , y e , respectivamente.