Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular as derivadas parciais de duas funções específicas. Isso tá relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às Derivadas Parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante, e também vamos usar algumas regras de derivação como a do produto e a da cadeia.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Aqui, temos que derivar
em relação a
. Vamos identificar as partes dessa expressão:
-
é uma constante. -
e são variáveis. -
é uma função exponencial que depende de e .
Para derivar essa expressão em relação a
, vamos aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
Passo 3
Primeiro, aplicamos a Regra do Produto. Isso significa que vamos derivar cada parte que envolve
separadamente e depois somar os resultados. A função tem três partes multiplicadas:
,
, e
.
Vamos derivar cada uma:
- Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a .
Passo 4
Focando na terceira parte:
.
Aqui, é tratado como constante em relação a
, então a derivada será:
Aqui,
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para derivar a função exponencial:
Onde
. Então:
Portanto:
Multiplicando pelo
que estava na frente:
Passo 5
Agora, voltando à Regra do Produto:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para a segunda função:
Aqui, queremos derivar
em relação a
. As partes são:
-
é uma constante. -
é tratado como constante em relação a . -
é uma função exponencial que depende de .
Aplicamos a Regra da Cadeia novamente:
Multiplicando pelo
:
Resposta
As derivadas parciais calculadas são:
e
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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Determine
onde:
Determine as derivadas parciais de
ordem da função:
Sugestão: Prepare a função:
Sugestão: Prepare a função:
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: