Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
partial zpartial x=28 cdot x cdot y cdot e^(2 x^2 y) e partial zpartial y=14 cdot x^2 cdot e^(2 x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular as derivadas parciais de duas funções específicas. Isso tá relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às Derivadas Parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante, e também vamos usar algumas regras de derivação como a do produto e a da cadeia.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
partial zpartial x = 28 cdot x cdot y cdot e^(2 x^2 y)
Aqui, temos que derivar em relação a . Vamos identificar as partes dessa expressão:
  • é uma constante.
  • e são variáveis.
  • é uma função exponencial que depende de e .
Para derivar essa expressão em relação a , vamos aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 3

Primeiro, aplicamos a Regra do Produto. Isso significa que vamos derivar cada parte que envolve separadamente e depois somar os resultados. A função tem três partes multiplicadas: , , e .
Vamos derivar cada uma:
  1. Derivada de em relação a é (porque é constante).
  2. Derivada de em relação a é .
  3. Derivada de em relação a .

Passo 4

Focando na terceira parte: y cdot ddx(e^(2 x^2 y)) .
Aqui, ddx(e^u) = e^u cdot dudx é tratado como constante em relação a dudx = 4xy , então a derivada será:
ddx(e^(2 x^2 y)) = e^(2 x^2 y) cdot 4xy
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para derivar a função exponencial:
y cdot e^(2 x^2 y) cdot 4xy = 4x y^2 e^(2 x^2 y)
Onde . Então:
Portanto:
Multiplicando pelo que estava na frente:

Passo 5

Agora, voltando à Regra do Produto:
partial zpartial x = 28 (0 + 1 cdot y cdot e^(2 x^2 y) + x cdot 4x y^2 e^(2 x^2 y))
Simplificando:
partial zpartial x = 28 (y e^(2 x^2 y) + 4x^2 y^2 e^(2 x^2 y))
Fatorando partial zpartial x = 28 cdot y e^(2 x^2 y) (1 + 4x^2 y) :

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a segunda função:
partial zpartial y = 14 cdot x^2 cdot e^(2 x^2 y)
Aqui, queremos derivar ddy(e^(2 x^2 y)) = e^(2 x^2 y) cdot 2x^2 em relação a partial zpartial y = 14x^2 cdot e^(2 x^2 y) cdot 2x^2 = 28x^4 e^(2 x^2 y) . As partes são:
  • é uma constante.
  • é tratado como constante em relação a .
  • é uma função exponencial que depende de .
Aplicamos a Regra da Cadeia novamente:
Multiplicando pelo :

Resposta

As derivadas parciais calculadas são:
partial zpartial x = 28 cdot y e^(2 x^2 y) (1 + 4x^2 y)
e
partial zpartial y = 28x^4 e^(2 x^2 y)

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
z = 6 / (x^2 * y^3)
Determine d/y d/x onde: y = x^(tg(x)), x > 0
Determine as derivadas parciais de 2^a ordem da função: z = y^2/x - x^2/y
Sugestão: Prepare a função: z = y^2/x - x^2/y => z = x^(-1) * y^2 - x^2 * y^(-1)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
f(x, y) = 4 x^5 * sen(2 y^3)