Determine
onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de
onde
. Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções com expoentes que são funções, especialmente usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar entender como derivar potências onde tanto a base quanto o expoente são variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Isso é útil quando temos uma função na forma de uma base elevada a uma função.
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.
O lado esquerdo fica:
Passo 5
No lado direito, precisamos usar a regra do produto para derivar
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, igualamos os dois lados:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada é dada por:
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e