Determine d/y d/x onde: y = x^(tg(x)), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de onde . Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções com expoentes que são funções, especialmente usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar entender como derivar potências onde tanto a base quanto o expoente são variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Isso é útil quando temos uma função na forma de uma base elevada a uma função.

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.
O lado esquerdo fica:

Passo 5

No lado direito, precisamos usar a regra do produto para derivar :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, igualamos os dois lados:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada é dada por:

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