Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Cálculo Diferencial onde precisamos encontrar a função
a partir de suas derivadas parciais. As derivadas parciais fornecidas são:
Para resolver, precisaremos integrar essas derivadas parciais em relação a
e
, respectivamente, e depois combinar os resultados para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada parcial em relação a
:
Para integrar em relação a
, observamos que a expressão
sugere o uso de substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a outra derivada parcial para determinar
. Sabemos que:
Derivando a expressão de
que encontramos:
Comparando com a derivada parcial dada:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante.
Resposta
A função
é dada por:
onde
é uma constante real.