Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: partial zpartial x=28 cdot x cdot y cdot e^(2 x^2 y) e partial zpartial y=14 cdot x^2 cdot e^(2 x^2 y)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo Diferencial onde precisamos encontrar a função partial zpartial x = 28 cdot x cdot y cdot e^2x^2y e partial zpartial y = 14 cdot x^2 cdot e^2x^2y a partir de suas derivadas parciais. As derivadas parciais fornecidas são:
Para resolver, precisaremos integrar essas derivadas parciais em relação a e , respectivamente, e depois combinar os resultados para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada parcial em relação a partial zpartial x = 28xye^2x^2y :
u = 2x^2y Rightarrow dudx = 4xy Rightarrow dx = du4xy
Para integrar em relação a z(x, y) = integral 28xy e^2x^2y dx = 28xy cdot 14xy e^2x^2y + C(y) = 7 e^2x^2y + C(y) , observamos que a expressão sugere o uso de substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a outra derivada parcial para determinar partial zpartial y = 14x^2e^2x^2y . Sabemos que:
partial zpartial y = partialpartial y (7 e^2x^2y + C(y)) = 7 cdot 2x^2 e^2x^2y + C'(y) = 14x^2 e^2x^2y + C'(y)
Derivando a expressão de 14x^2 e^2x^2y + C'(y) = 14x^2 e^2x^2y que encontramos:
Comparando com a derivada parcial dada:
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Resposta

A função z(x, y) = 7 e^2x^2y + C é dada por:
onde é uma constante real.

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