Suponhamos que o potencial elétrico no ponto seja dado por
,
onde é dado em volts e em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em na direção dos eixos , y e , respectivamente.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos o potencial elétrico , onde está em volts e em centímetros. Precisamos encontrar a taxa instantânea de variação de em relação à distância nas direções dos eixos , e no ponto . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais do cálculo multivariável, que nos permite encontrar como muda em cada direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, aplicamos a regra da derivada para funções de múltiplas variáveis:
Simplificando:

Passo 3

De maneira semelhante, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nos valores de , e :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na derivada parcial de :
Para :
E para :

Resposta

A taxa instantânea de variação de nas direções dos eixos é:
  • Eixo : volts/cm
  • Eixo : volts/cm
  • Eixo : volts/cm

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