Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função
para os níveis
. Depois, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Matematicamente, isso é representado por
. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Vamos começar calculando as curvas de nível para cada valor de
.
Para
:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
.
Passo 4
Para
:
Aqui, temos outro círculo centrado na origem, mas com raio
.
Passo 5
Para
:
Mais uma vez, um círculo na origem, agora com raio
.
Passo 6
Para
:
Essa equação só é verdadeira quando
e
. Ou seja, é apenas o ponto
.
Passo 7
Agora que temos as curvas de nível, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa função representa um paraboloide de revolução que abre para baixo, com o vértice no ponto
. As curvas de nível que desenhamos são secções horizontais desse paraboloide.
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: Círculo com raio 3. - Para
: Círculo com raio 2. - Para
: Círculo com raio 1. - Para
: Ponto .
O gráfico da função é um paraboloide de revolução que abre para baixo, com vértice no ponto
.
Exercícios relacionados
Se
e
. Calcule
.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Calcule os limites, caso existam.
A pressão em
(em kilopascals), volume
(em litros) e temperatura
(em kelvins) de um mol de um gás ideal relacionam-se pela equação
. Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é 300 K e está aumentando com a taxa de
e o volume é 100 L e está aumentando com a taxa de
.