Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função para os níveis . Depois, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso é representado por . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Vamos começar calculando as curvas de nível para cada valor de .
Para :
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio .

Passo 4

Para :
Aqui, temos outro círculo centrado na origem, mas com raio .

Passo 5

Para :
Mais uma vez, um círculo na origem, agora com raio .

Passo 6

Para :
Essa equação só é verdadeira quando e . Ou seja, é apenas o ponto .

Passo 7

Agora que temos as curvas de nível, vamos esboçar o gráfico da função . Essa função representa um paraboloide de revolução que abre para baixo, com o vértice no ponto . As curvas de nível que desenhamos são secções horizontais desse paraboloide.

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para : Círculo com raio 3.
  • Para : Círculo com raio 2.
  • Para : Círculo com raio 1.
  • Para : Ponto .
O gráfico da função é um paraboloide de revolução que abre para baixo, com vértice no ponto .

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