Se
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções,
e , e uma função
. A gente precisa descobrir a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais da função
em relação a
e a
. Isso significa que vamos derivar
considerando uma variável de cada vez enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para :
Passo 4
Com todas as derivadas parciais e as derivadas em relação a
calculadas, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
nas expressões:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Simplificando as expressões:
Resposta
Então, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Calcule os limites, caso existam.
Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.
Calcule os limites, caso existam.