Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função . A matéria que estamos trabalhando aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como essa , a derivada parcial em relação a uma variável nos mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é . Aplicamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa pela derivada da função interna.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos a função interna
em relação a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
Novamente, usamos a regra da cadeia para a função :
Passo 7
Derivando a função interna
em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
Exercícios relacionados
Encontre
onde:
Encontre
onde:
.
Determine
onde:
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: