Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
z = sen(3 x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função . A matéria que estamos trabalhando aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como essa , a derivada parcial em relação a uma variável nos mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é . Aplicamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos a função interna em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Novamente, usamos a regra da cadeia para a função :

Passo 7

Derivando a função interna em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Encontre d/y d/x onde: y = raiz(s^2 - 1) - arcsec(s)
Encontre d/y d/x onde: y = arcsec(1/t), 0 < t < 1.
Determine d/y d/x onde: y = x^2 * e^x - x * e^x
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
w(x, y) = raiz(x y)