Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como diferenciar funções exponenciais e entender como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é uma função exponencial onde o expoente é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Então, aplicando isso:
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como constante quando derivamos em relação a
:
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Então:
Agora, derivando
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Determine
onde:
Esboce os gráficos das funções abaixo. Observe que os gráficos de funções do tipo
passam pela origem.
Determine
onde: