Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função
. Aqui estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é útil quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. A função
depende de duas variáveis:
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma dessas variáveis, ou seja,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Para isso, note que
é uma função composta: uma função externa
e uma função interna
. A regra da cadeia nos diz que a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Agora, derivamos a função interna em relação a
.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Pois a derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Passo 7
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem da regra da cadeia.
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para
:
Derivamos a função interna em relação a
.
Passo 9
Derivando
em relação a
:
Pois a derivada de
em relação a
é zero e a derivada de
é
.
Passo 10
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
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Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
no ponto
.
A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é
graus e
. Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos
e
, respectivamente, no ponto
.