Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. A função depende de duas variáveis: e . Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis, ou seja, e .

Passo 3

Vamos começar calculando . Para isso, note que é uma função composta: uma função externa e uma função interna . A regra da cadeia nos diz que a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para :
Agora, derivamos a função interna em relação a .

Passo 5

Derivando em relação a :
Pois a derivada de é e a derivada de em relação a é zero.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:

Passo 7

Agora, vamos calcular usando a mesma abordagem da regra da cadeia.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para :
Derivamos a função interna em relação a .

Passo 9

Derivando em relação a :
Pois a derivada de em relação a é zero e a derivada de é .

Passo 10

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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